笔者在前一篇论文中，曾说到我国近代洋务学堂和近代学校兴起后，数学、数学教育与数学教科书的变革将另撰文发表。这是因为这一时期，在文化上处于“中西文化冲突而又融合的成长道路，异彩纷呈的内部结构和救亡图存的时代主题”这样一种文化转型期，在教育上，也处于中国传统教育向近代教育转化的阶段。而在中国具有悠久历史和辉煌传统的数学和数学教育，在这时也面临着彻底的变革，正如田淼所说: “清代末期，传统的政治体系和教育体系走向崩溃。西方数学作为西方军事技术及民用技术的基础得到了普遍重视，并最终进入基础教育体系且主导了中国数学研究的方向。中国数学的西化正是在这样的环境中基本完成的。西方数学在明代政权将被取代之际被引入中国，而中国数学西化的历程在清代政权接近灭亡及传统文化、政治体系遭遇毁灭性重创之时完成，这本身亦显示出其与当时中国社会、文化环境之间的不可分割的关系”。
本文主要论述近代中国文化转型与数学、数学教育之间的关系，但回溯到 19 世纪末，以便衔接。

一、中国传统文化的转型

19 世纪末 20 世纪初，中国社会发生剧变，诚如李鸿章所惊呼的，中国遭遇“数千年未有之变局”、“数千年未有之强敌”，中国面临着亡国灭种的危险，救亡与启蒙也因之而起。鸦片战争后，由“师夷长技”致有洋务运动。洋务运动是从兴办军需工业开始的，洋务运动启动了中国近代化的闸门。有了近代工业，必须有新式教育，而科学、技术须求之于西方，这就要培养翻译人才，同时地产生了留学外国的需要。甲午中国惨败于日本蕞尔小国，致使从 1895 年到 1911 年间，不断掀起维新反满、新政立宪、起义革命。这是一个大变动的时期，也正是在这期间，中国开始了超越洋务运动而进入以政治制度的变革为中心的历史时期，改良与革命交相跌宕，一切文化现象无不显示政治问题的折射。
1911 年 10 月 10 日武昌首义，中国历经二千余年的君主专制政体，终于遭到了毁灭的命运。但在民国初年，政治失序，在此政局下，思想界一片混沌。共和制与君主制之争、孔教之争、新旧道德之争，此起彼伏，争论不休。但新思想、新观念、新文化也恰恰在这种冲突中逐渐发展起来，为即将到来的新文化运动准备了条件。
新文化运动是由文化革命开其端的。1917 年初，胡适的《文学改良刍议》一文在《新青年》杂志第2 卷第5 号\\( 1917 年1 月\\) 上发表，成为文学革命的开场号角，接着陈独秀在第 2 卷第 6 号《新青年》杂志上发表了气势如虹的《文学革命论》，文学革命从极少数人的酝酿、讨论而开始变成将吸引许多人关注并令其以不同形式投身其中的一场运动了。新文化运动由此而蓬勃地开展起来。
在清末，因新教育的产生和发展，社会团体的倡兴，以及公共传媒系统的建立，初步形成了近代的社会公共文化空间。社会公共文化空间，是孕育新文化的温床，是传播新文化的网络，是促进各种文化相互交流的渠道，是其相互竞争的演武场。晚清社会公共文化空间的形成，对于推进近代中国文化转型，促进社会文化进步，具有极为重要的作用。
在清末，西方思想文化通过社会公共空间广泛传播，导致人们的思想观念发生很大的变化。其中最主要的是尊君观念的逐渐被摈弃和孔子与儒学独尊地位的根本动摇。思想观念上的这一重要变化，推动了文化的平民化和社会风俗的变革。到清末，中国的先觉分子开始初步意识到个人与个性的重要，它预示着中国近代新文化将如喷薄欲出的朝日，升起于东方。五四爱国运动的爆发，大大地促进了新文化运动更加高歌猛进，在各个领域里都取得了显着的成绩。
从清末到 20 世纪中叶以前，中国经历了近代文化转型。从上述对这种转型的大致轨迹描述中，我们可以清楚地认识到，文化的转型，不是一夜之间完成的突变，一种骤然的他文化取代，而是在文化内部变动逐渐积累的基础上，又受到外来文化的刺激，并吸收其若干有益成分之后产生出新的文化。一个伟大民族的文化，在经历不可避免的转型之后，必定会更加焕发青春朝气。
新文化运动实绩的核心是文化观念的转变，这些主要观念有: 平民主义、个性主义、科学的态度和开放的文化观念。平民主义强调了新文化运动对唤起民众、关注民众、依靠民众的重视。科学的态度是新文化运动的重要内容之一。人们关注如何将自然科学那种重实证、重实验的精神和方法应用到其他学问的研究上，甚至推广到对其他问题的解决上。正如任鸿隽所一再阐明的，科学的精神，是求真理，真理的作用，是要引导人类向美善方面行去。……我们可以说，科学在人生态度的影响，是事事要求一个合理的。这用理性来发明自然的秘奥，来领导人生的行为，来规定人类的关系，是近世文化的特采，也是科学的最大贡献与价值。这种对科学的深刻认识，即使在今天也是十分高明和先进的。个性主义，是指解放人，解放人的个性，解放各个人的创造精神、创造力。这在近代中国是一个具有根本意义的重大问题，因为中国延续二千余年的大一统君主专制制度，和与其紧密相连的宗法制度，一贯抹杀、压制人的个性，一个人生下来，就被置于礼仪、名教、纲常的网罗之中，不得自由行动，也无从自由思考。在这样的社会条件下，如何能发挥人的自主能动性? 社会又如何能生机蓬勃、顺畅发展呢?
文化的发展需要世界化，就是要以开放的文化心态处理中华文化与世界文化的关系。有了开放的文化心态，才能把中国文化如实地看成是世界文化的一部分，我们从世界文化中汲取于我们有益的成分，丰富和发展我们的文化，同时又把我们的文化之优秀的成分贡献给世界，促进世界文化之进步。从我国近代文化转型的历程看: 对外，养成开放的文化心态，造成中国文化与世界文化的良性互动关系; 对内，充分地解放个性，发挥每个社会成员的主动精神和创造才能，这就是近代中国新文化发展的基本趋向。
这一时期，是中华民族文化衰败走向振兴的重要阶段，也是像“文艺复兴”那样需要巨人而又产生巨人的时代。西方社会从文艺复兴到 20 世纪初期，用了数百年时间的文化思潮嬗变过程，从五四之前的新文化运动到 1927 年，就大致在中国草率地反演了一遍。也正是在这一时期，现代意义上的自然科学，在中国真正扎下了根基。

二、中国传统数学的嬗变

郭书春认为，中国传统数学曾长期在世界上领先。我们有约一千八百年间是数学大国，约一千六百年间是数学强国，成为世界数学研究的中心。中国数学不仅影响了朝鲜、日本、越南及东南亚地区的数学发展，而且影响了印度、阿拉伯地区的数学，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，为变量数学的产生作出了贡献。可是，西方在 17 世纪进入变量数学阶段，突飞猛进，我国与西方数学的差距反而越来越大，由明末清初相差三四十年，到清末民初相差约二百年。中国传统数学亦在此时中断。
中国传统数学中断，是指在 19 世纪末至 20 世纪初，西方数学的内容、方法和思想方式已完全得到中国数学家的认同，传统数学方法亦基本被取代。或说中国传统数学发生了嬗变。这种转向主要表现在三个方面: 一是，西方数学知识在中国的传播和研究情况。二是，中国数学家对西方数学研究内容的认识和态度的转化和发展。三是，中国数学家的研究方法和思维模式的转化过程。具有典型意义的是中国传统数学中的精粹内容天元术、垛积术、四元术等被西方数学所取代及数学家的研究方法与研究内容的转化。康熙时期，传入的借根方被中算家所认同，在天元术重新被解读之后，乾嘉时期数学家围绕天元术与借根方的优劣比较问题产生分歧，而天元术渐占上风，并得到了广泛的流传。到清代末年，大部分数学家都能够清醒地意识到符号代数的先进性，代数学从此取代了天元术。三角函数及三角函数幂级数展开式传入之后，中国数学家们为了理解和证明这些内容，将传统数学中的成果与这一西方的数学方法结合起来，取得了一定的研究成果\\( 如董佑诚将三角函数幂级数展开式的研究与传统垛积术联系起来; 李善兰、刘彝程等依然利用八线的概念阐述三角函数等\\) 。至清代末年，随着近代三角学的系统传入，中国传统数学的研究方法和内容逐渐从三角函数的研究中被剥离出来，三角学研究恢复了其纯粹西方数学知识的面目。1860 年以后，符号代数和微积分学开始在中国传播，并逐渐扎下根来。曾得出很多出色成果的传统代数学———天元术和四元术几乎很快就被符号代数所取代。特别是垛积术，本来是中国传统数学中成就颇丰的一个研究领域，可能是 16 世纪以后唯一取得领先于世界成果的中国传统数学分支。但是，到 19 世纪末，中国传统垛积术也终于被彻底地代数化了。

三、中国近代数学的崛起

中国的近代数学是我国数学家自己创立的。20 世纪前 30 年出国留学的数学家是一批在我国播种近代数学种子的拓荒者。在中国人于 20 世纪 20 年代迈进近代数学的大门时，西方学者已从开创各个研究方向起走过了近百年的历程，欧洲数学家对数学的认识也发生了根本性的变化。由于篇幅的限制，这里只十分简略地提及国际上 19 世纪末 20 世纪初在数学和科学中的典型成果，就可以明白当时国际科学界和数学界已到达的水平。在数学领域，1899 年，希尔伯特《几何基础》出版; 1902 年，勒贝格积分建立; 1903 年，罗素悖论提出; 1906—1912 年，马尔可夫过程建立; 1907 年，布劳威尔创立直觉主义数学学派; 1908 年，闵可夫斯基提出四维时空。在科学领域，1897 年，汤姆孙发现电子; 1898 年，威尔孙发明云室，居里夫妇发现钋和镭; 1899年，卢瑟福发现 α 射线和 β 射线; 世纪之交，科塞尔和列文研究核酸及其组成;1900 年，普朗克提出量子论，诺贝尔基金会成立，1901 年 12 月 10 日颁发第一届诺贝尔奖; 20 世纪初，高压化学兴起，合成橡胶问世，胶体化学创立; 1903 年，齐奥尔可夫斯基《利用喷气工具研究空间》发表，汤姆孙原子模型提出，巴甫洛夫发现条件反射; 1904 年夫累铭发明电子二极管，威尔孙山天文台创建; 1905 年，爱因斯坦提出电子说，创立狭义相对论，等等。
这些伟大成就简直令今天的我们都瞠目结舌，但那是上个世纪之交的事。在国际学术交流方面，1865 年伦敦数学学会创立，1872 年法国数学学会创立，紧随其后，在 19 世纪 80 年代，苏格兰的爱丁堡数学学会、意大利的巴勒莫数学学会和美国纽约数学学会\\( 很快改名为美国数学学会\\) 相继创立，接下来是 1890 年创立的德国数学学会。其中每一个机构都举办定期会议，出版期刊。国际数学家大会 1893 年第一次在芝加哥与哥伦布世界博览会联袂举行。接着，1897 年最早的“官方”国际数学家大会在瑞士苏黎世召开，此后每 4 年一届。
而其中最着名的莫过于希尔伯特在 1900年巴黎举行的第二届大会上发表的着名演讲《数学问题》。在这篇演讲中，希尔伯特对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟见解，而整个演讲的核心部分则是他根据 19 世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的 23 个问题。这些问题涉及现代数学的大部分领域，它们的解决，对 20 世纪数学产生了持久的影响。
对此，我国当时的数学家还是游离于局外。20 世纪初，我国一批出国留学人员在国外着名大学或国际上重要的学术中心，跟随数学大师学习与研究。其中一些留学归国的数学家，他们学识渊博，倾全力投入数学教育工作，对教书育人精益求精，对提拔人才不拘一格，并尽力构建中国的数学学科建制。中国数学学会成立于 1935 年，与西方国家数学学会的成立晚了约半个世纪，而这也完全是中国数学家努力的结果，而且艰难发展，曲折前进。正是由于他们的敬业奉献，培养了有一定数学基础的年青人，然后出国留学，经过这样二三代人的奋发努力，到 20 世纪三四十年代，我国已出现了能在世界数学研究前沿工作的数学家。以代数方面的研究来说，如曾炯\\( 函数域上的代数\\) 、华罗庚\\( 有限群论、体论、典型群和矩阵几何\\) 、柯召\\( 二次型和矩阵论\\) 、李华宗\\( 矩阵论和克里福德代数\\) 、张禾瑞\\( 维特李环的自同构和表示\\) 、段学福\\( 有限群论、李群及李代数\\) 、王湘浩\\( 代数数论\\) 、严志达\\( 李群的贝蒂数\\) 、周炜良\\( 代数几何\\) 等。此外，如陈建功、苏步青、陈省身等在级数、微分几何方面所取得的成就，一时群星璀璨，一派兴旺景象。

四、中国近代数学教育的发轫

自第二次鸦片战争至甲午海战的三十余年间，为“求强”、“求富”，制造船炮、编练新军、开矿运输、兴办学堂、派遣留学，等等，成为一时潮流。洋务学堂因时而起。洋务学堂大多属中等层次，其培养目标在于造就应各项洋务事业急需的专门人才，随主办者的需要而转移，在学业程度、课程设置、学习年限等方面基本处于各自为政状态。
但洋务学堂比较重视数学教育。而同时，中国传统书院也纷纷开始注重以数学课士。教会学校也大多开设有数学课程。壬寅学制\\( 1902 年\\) 的颁布、癸卯学制\\( 1903 年\\) 的颁行与学部\\( 1905 年\\) 的设立，数学教育开始制度化。在此期间，民间对西方数学着作的翻译出版与数学丛书的编纂，数学杂志的创刊与数学社团的出现，推动了数学知识的传播与普及。而科举制度的改革以致最终于光绪三十一年\\( 1905\\) 废除，数学教育和整个科学教育与科举取士之间的矛盾至此获得了基本解决。
民国时期\\( 1912—1922 年\\) ，教育模仿德国，并颁布了新学制和课程标准。这时期的数学教科书以自编为主，印刷精美。教育部公布的《审定教学用图书规程》，为数学教材的编写与出版提供了前提。此时，欧美的教育思想传入中国，国外的多种教学模式如五段教学法、自学辅导法、分组教学法都被介绍到国内并在学校中进行实验。
1922 年 11 月 1 日，《学校系统改革案》公布，壬戌学制正式产生，壬戌学制亦称“新学制”。新学制模仿美国学制，中小学实行六三三制。中学开设选修课，采用学分制。由胡明复等起草中学数学各科课程纲要。根据新的课程纲要，编制新学制教科书。教科书仍由私人商办书局组织人员编写，经审定后印行。
这一时期的数学教科书多是在欧美教科书基础上加以适当的筛选增删而编成。为了对新学制时期的中学数学课程纲要和按照这一纲要所编制的教科书得到具体的了解，这里选取了高中代数课程纲要和新学制高级中学教科书《代数学》的内容。
三角、几何、解析几何原就是西方的数学知识为主，然而，即便是代数，从这份课程纲要和教科书目录中也很少看到中国传统数学的内容了。从数学教学法的改革来说，20 世纪 20 年代初，设计教学法在中国风行一时。设计教学法尊重儿童的学习兴趣和学习需要; 贯通了各部分数学知识之间的联系，提高学生解决实际问题的能力; 培养儿童独立研究问题的能力和事业责任心。道尔顿制也在这时进入我国，道尔顿制最突出的一点就是废除年级和班级的教学，实行个别化教学。学生在教师的指导下，各自主动地以不同的教材、速度和时间进行学习，来适应儿童各自不同的能力、兴趣和需要，从而发展其个性。这些改革，对提高教学的总体水平和对旧教学的改造方面，起到了显着的推动作用。但由于对各种方法不能一下子认清其利弊之真正所在，在具体实施时，照搬照抄，全盘吸收，导致了一定的消极影响。
经过 1922 年以改革学制为中心的教育改革，初步建立起较合适的学校系统和一套规章制度，各级教育日趋完善。在课程标准中，也初步提出了结合数学特点和学生特点的教学方法，对学生在整个教学过程中的地位和作用，也较为重视。注意到培养学生的技能、技巧和运用知识于实践。要求激发学生的学习欲望，使他们主动地学习。到这个时期，可以认为，我国数学教育体制的近代转型已基本完成，包括学制、教学体系、教学内容等，同时，对教学思想、教学方法也引起了关注，并开展了初步的研究和试验。中国传统数学教育从内容到形式，都已经不再占据主导地位和主流趋势。

五、结语

19 世纪和 20 世纪之交，我国在各方面都面临着急剧的变革，我国数学、数学教育的近代化也是在这一时期完成的。如果追溯根源，乾嘉时期校勘古算书、讲究实事求是的实证化的实学，其研究精神和研究方法，和现代科学是内在相通的，而且与当时传入的欧洲数学的方法和特点若合符节，这也影响了后世西方数学在中国的传播。民初政治的乌烟瘴气导致进行深层文化改造的运动，新文化运动迎来了中国思想界空前活跃的新时代，教育界也出现了学习西方教育的热潮，取法的重心，从日本、德国而转向美国。由于留欧、留美、留日学生的学成归国，西方学制和教育思想得到深入介绍，1922 年新学制的诞生也是水到渠成了。
新学制是中国教育界、文化界共同智慧的结晶。在中国近代教育史上，1922 年新学制是一座里程碑，是一次力图与国际教育和现代化趋势接轨的，比较成功的学制改革，达到了“纠正旧制的缺点”和“适应时代的要求”的目的。数学教育在这一时期基本完成了由传统向近代转化的过程。
我国的数学曾有过辉煌的历史，但在 19 至 20 世纪之交，我们已大大落后于世界先进国家，连“会通”的资格都将要丧失了。在经过几代留学归国学者的努力下，我国数学终于开始在困顿中崛起。
当前，我国正处于全国范围的基础教育课程改革，国外的教育理念、教育理论，教学方式与方法，教学的内容等都在不同层面上以不同的方式被引入，同时，也有人一再地在强调国情，强调本土化，强调传统。各种观点的争议，见仁见智，众说纷纭。以史为鉴，数学和数学教育的近代化过程，可以为我们处理今天改革中遇到的各种问题，提供了一个很好的参照。

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